   c  ng      t  p   h  c   kì   I   toán   8   (MQR)  1   V.   T.   N  _  HSPHN     C  NG   H  C   KÌ   I   TOÁN   8  A.   BÀI   T  P   C    B  N  D  ng   1:   Rút   g  n   bi  u   th  c.  Bài   1.   Rút   g  n   bi  u   th  c:  a)   3 (4   3)   (2   1)(6   5) x   x   x   x            b)   2 3 (   1)   2 (   3)(   3)   4 (   4) x x   x x   x   x x                  c)   3   2 (   1)   (   2)(   2   4)   3(   4)(   4) x   x   x   x   x   x                        d)   2   2 (   1)(   1)(   1)(   1) x   x   x   x   x   x                  Bài   2.   Rút   g  n   r  i   tính   giá   tr    c  a   bi  u   th  c:  a)   3   2 (   1)   4 (   1)(   1)   3(   1)(   1) x   x x   x   x   x   x                         t  i   2. x     b)   2   2 2(2   3 )(2   3 )   (2   1)   (3   1) x   y   x   y   x   y                   t  i   1,   1. x   y      D  ng   2:   Phân   tích    a   th  c   thành   nhân   t  .  Bài   3.   Phân   tích   các    a   th  c   sau   thành   nhân   t  :  a)   2   2   2   2   2   1 a   b   ab   a   b                b)   2   2  ax   ax   bx   bx   a   b               c)   3 (   2 )   6 (2   ) x x   y   y   y   x          d)   2   2   2   2 2   2 x   xy   y   n   mn   m               e)   2   2   2 81   6   9 x   xyz   y   z          f)   2   2   2   2   2 4   (   1) a b   a   b         g)   3   2 4   8   8 x   x   x          h)   2   2 16   4   9   16 xy   y   x         Bài   4.   Phân   tích   các    a   th  c   sau   thành   nhân   t  :  a)   4   8 64 x   y    b)   2   7   12 x   x      c)   2 3   7   2 x   x       d)   3   2   3 x   x      e)   3   2 5   8   4 x   x   x          f)   2   2   2   2 (   9)   8 (   9)   12 x   x x   x            g)   (   1)(   2)(   3)(   4)   8 x   x   x   x               D  ng   3:   Tìm   x.  Bài   5.   Tìm   x   bi  t:  a)   2 6(   2)(   3)   3(   2)   3(   1)(   1)   1 x   x   x   x   x                        b)   2   2 3(   2)   (2   1)   7(   3)(   3)   36 x   x   x   x                     c)   2 (   1)(   1)   (   2)(2   )   5 x   x   x   x x   x                     d)   3   2   2 (   1)   (   3)(   3   9)   3(   4)   2 x   x   x   x   x                        Bài   6.   Tìm   x   bi  t:  a)   2   3   18   0 x   x          b)   2 8   30   7   0 x   x         c)   3   2 11   30   0 x   x   x          d)   2   2 (   4 )   8(   4 )   15   0 x   x   x   x               e)   8   9   0 x   x          f)   2   1   0 x   x         D  ng   4:   Phép   chia    a   th  c.  Bài   7.   S  p   x  p   các    a   th  c   sau   r  i   làm   phép   chia:  a)   4   3   2 (3   2   3   2) : (1   ) x   x   x   x             c  ng      t  p   h  c   kì   I   toán   8   (MQR)  2   V.   T.   N  _  HSPHN  b)   4   5   2 (5   1   3   ) : (   1) x   x   x   x            Bài   8.   Cho   các    a   th  c:   4   3   2 2   3   5   10 A   x   x   x   x                và   2   1 B   x   x          .  Tìm   Q,   R   sao   cho:   A   =   B.Q   +   R.  Bài   9.   Xác    nh   các   h  ng   s    m      ( )   ( ). A x   B x   a)   2 ( )   8   26 A x   x   x   m          và   ( )   2   3. B x   x      b)   3 ( )   13 A x   x   x   m          và   2 ( )   4   3. B x   x   x         c)   3   2 ( )   7 A x   x   x   mx          và   ( )   2. B x   x      Bài   10.   a)   Tìm   , a   b      3   2   2 2   1 x   x   ax   b   x             b)   Tìm   , a   b      4   3   2   2 4   3   2. x   x   ax   x   b   x   x                   c)   Tìm   , a b      10   3  x   ax   b       chia   cho   2   1 x      d    2   1. x     Bài   11.   Tìm   giá   tr    nguyên   c  a   x    :  a)   2 8   4   1   2   1 x   x   x          b)   3   2 3   2   18   2 x   x   x   x             c)   4   2   2 7   1 x   x   x          d)   4   2   2 3   1 x   x   x   x          D  ng   5:   Toán   c  c   tr  .  Bài   12.   Tìm   giá   tr    nh    nh  t   c  a   các   bi  u   th  c   sau:  2   6   11 A   x   x          2 3   5   7 B   x   x         2 (   1)(   5)(   4   5) C   x   x   x   x                (   1)(   3)   11 D   x   x            2   2 (   3)   (   2) E   x   x             2 15 6   14  F   x   x          Bài   13.   Tìm   giá   tr    l  n   nh  t   c  a   bi  u   th  c:  2 1   4 A   x   x          2 19   9   6 B   x   x         2 2000 2   6  C   x   x          2   2 4   2 D   x   x   y   y            D  ng   6:   Phân   th  c    i   s  .  Bài   14.   Cho   bi  u   th  c:   2 2   2   8 2   4   2   4   4  x   x A   x   x   x                     a)   Tìm   các   giá   tr    c  a   x      A   có   ngh  a.  b)   Rút   g  n   A.  c)   Tính   giá   tr    c  a   A   khi   |   3| 1. x        Bài   15.   Cho   bi  u   th  c:  2   2 1   2   6   4 2   1   : 2   1   3   2   1  x   x   x B   x   x   x   x                                           a)   Rút   g  n   B.  b)   Tính   B   khi   x   th  a   mãn   2   3   0. x   x      Bài   16.   Cho   bi  u   th  c:  2 2   2 2   9   3   2   1 5   6   2   3  x   x   x   x C   x   x   x   x   x                           a)   Rút   g  n   bi  u   th  c   C.  b)   Tìm   giá   tr    nguyên   c  a   x      C   nguyên.

Đề cương ôn tập HK1 Toán 8

TOÁN HỌC   LỚP 8  Tổng hợp   và giảng dạy : ThS. Ngô Văn Thọ   nguồn tham khảo:   internet   Trang   1  Facebook, Zalo: 0972120800  I. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC      NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC  TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Quy t  c:   Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi  cộng các tích với nhau.  A(B   +   C)   =   AB   +   AC  Quy   t  c:   Muốn nhân một đa thức với 1 đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này  với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.  (A   +   B)(C   +   D)   =   AC   +   AD   +   BC   +   BD  VD 1 :   1). 8x.( 3x 3      6x +4 ) = 8x.3x 3   +8x.(    6x) +8x.4= 24 x 4      48x 2   + 32x.  2). 2x 2 .(x 2   + 5x    2 1   ) = 2x 3 .x 2   + 2x 3 .5x      2x 3 . 2 1   = 2x 5   + 10x 4      x 3 .  3). ( 3x 3 y    3 2   6 ). 5 1 2 1   xy xy x      = 18x 4   y 4      3x 3 y 3   + 5 6   x 2 y 4 .  4).   (4x 3      5xy + 2x) (  2 1   xy) =    2x 4   y + 2 5   x 2 y 2      x 2 y  VD 2 : Tính  1).   (x + 3)(x 2   + 3x    5)   = x 3   +3x 2    5x +3x 2   + 9x  15 = x 3   + 6x 2   +4x    15.  2). (xy  1) ( xy+5)   = x 2 y 2   + 5xy      xy    5 = x 2 y 2   + 4xy      5  3). (2x    5)(3x 2   + 7x    1)   = 2x(3x 2   + 7x      1)      5( 3x 2   + 7x      1)  = 6x 3   +14x 2      2x      15x 2      35x+5 = 6x 3      x 2      37x + 5.  4).   ( 2 1   xy    1)(x 3    2x    6)   = 2 1   x 4   y    x 2 y    3xy    x 3   +2x + 6.    ng: (x      y) (x 2   + xy + y 2 )   = x (x 2   + xy + y 2 )      y (x 2   + xy + y 2 )  = x 3   + x 2 y + xy 2      x 2 y      xy 2      y 3   = x 3      y 3  Bài 1 . Nhân đơn th  c v  i đa th  c:  1). 3x 2 (5x 2      2x      4)   2) . xy 2 (x 2 y + x 3 y 2   + 3x 2 y 3 )   3). xyz(x 2 y + 3yz 2   + 4xy 2 z)  4).   2x 2 (4x 2      5xy + 8y 3 )   5). 2xy 2 (5x 2   + 3xy − 6y 3 )   6).      x 2 y(xy 2    1 2   xy + 3 4   x 2 y 2 )  7). (3xy      x 2   + y). 2 3   x 2 y   8).   (4x 3      5xy + 2x)(    1 2   xy)   9) . 2x 2 (x 2   + 3x + 1 2   )  10).    3 2   x 4 y 2 (6x 4    10 9   x 2 y 3      y 5 )   11). 2 3   x 3 (x + x 2    3 4   x 5 )   12). 2xy 2 (xy + 3x 2 y    2 3   xy 3 )  13). 3x(2x 3    3 1   x 2      4x)   14). 3 5   x 3 y 5 (7x 4   + 5x 2 y − 10 21   x 4 y 3    y 4 )  Bài 2. Nhân đa thức với đa thức:  1). (2x      5)(3x + 7)   2). (  3x + 2)(4x      5)   3). (x      2)(x 2   + 3x      1)  4).(x + 3)(2x 2   + x      2)   5).   (2x      y)(4x 2      2xy + y 2 )   6).   (x +3)(x 2    3x + 9)      (54 +  x 3 )  7). (3x + 4x 2      2)(    x 2   +1 +   2x)   8). (2x      y)(4x 2   + 2xy + y 2 )   9).   (2x + y)(4x 2      2xy + y 2 )  10). (x      2)(3x 2      2x + 1)   11).(x + 2)(x 2   + 3x + 2)   12.) (2x 2   + 1)(x 2      x +3)  13).(xy      1)(x 2 y      3xy 2 )   14). (x + 3)(x 2      x + 2)   15). (x 2      x + 2)(2x      3)  16).(x 2      2xy      y 2 )(x      y)   17).   (x 2      3xy + y 2 )(x + y)   18). (x      5)(x 2      6x + 1)  CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨCTOÁN HỌC   LỚP 8  Tổng hợp   và giảng dạy : ThS. Ngô Văn Thọ   nguồn tham khảo: internet   Trang   2  Facebook, Zalo: 0972120800  19). (2x 2      1)(3x 2      x + 2)   20). (2      3x 2 )(x 3   + 2x 2      3)   21). (9x      2)(x 2      3x + 5)  22). (7x      1)(2x 2      5x + 3)   23). (5x + 3)(3x 2   + 6x + 7)   24).   (6x 2   + 5y 2 )(2x 2    y 2 )  25 ). (− 1 2   x 2 +y 3 )(8x 3    4 3   x 2 y    y 2 )   26 ). (2xy 2  7x 2 y)( 1 2   x 2   + 5xy − 4y 3 )  Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:  1).   A = 5x(4x 2      2x + 1)      2x(10x 2      5x      2)   v  i x= 15  2).   2x (3x 2      5x + 8) − 3x 2 (2x      5 )      16x   v  i x = − 15  3). B = 5x(x 2      3) + x 2 (7      5x)      7x 2   v  i x =      5  4). C = (x      2)(x 4   + 2x 3   + 4x 2   + 8x +16)   v  i x = 3  5). D = 4x 2      28x + 49   v  i x = 4  6). E = x 3      15x 2   + 75 x   v  i x = 25  7). F = (x + 1)(x      1)( x 2   + x + 1)( x 2      x + 1)   v  i x = 3  8). G = x(x      y) + (x + y)   v  i x = 6 và y =8  9). H = 5x(x      4y)      4y(y      5x)   v  i x=      1/5 ; y=    1/2  10). I = x(x 2      y 2 )      x 2 (x + y) + y(x 2      x)   v  i x = 1/2   và y = 100  11). J = (x + y)(x 3      x 2 y + xy 2      y 3 )   v  i x = 2 và y =      1/2  12). K = 4x 2 (5x      3y)      5x 2 (4x + y)   v  i   x =    2;   y =    3  13). L =   (x 2 y + y 3 )(x 2   + y 2 )      y(x 4 + y 4 )   v  i x = 0,5; y =      2  14).   (2x 2   + y) (x      6xy ) − 2x (x      3y 2 ) (x   +   1 ) + 6x 2 y (y − 2x)   v  i x = − 2 và    y    = 3  BÀI TẬP TỔNG HỢP  Bài 1.   Thực hiện   các phép tính sau:  a) x   x   x 2   2  (      2 )    b) x   x   x (2   1)(3   2)(3 –   )       c) x   x   x 2  (   3)(   3         d) x   x   x 2  (   1)(      1)       e) x   x   x 3  (2   3   1).(5   2)          f) x   x   x 2  (   2   3).(   4)         Bài 2.   Thực hiện   các phép tính sau:  a) x y   x   y   yz 3   2  2   (2      5   )       b) x   y   x y   xy   y 2   2  (      2 )       c) xy x y   x   y 2 2   (      10 )  5     d) x y   xy   x   y 2   2 2   .(3      )  3      e) x   y   x   xy   y 2   2  (      )(   )       f) xy   x   x 3 1           2               Bài 3.   Chứng minh các     a) x   y   x   x y   x y   xy   y   x   y 4   3   2   2   3   4   5   5  (   )(   )                     b) x   y   x   x y   x y   xy   y   x   y 4   3   2   2   3   4   5   5  (   )(   )                     c) a   b   a   a b   ab   b   a   b 3   2   2   3   4   4  (   )(   )                  d) a   b   a   ab   b   a   b 2   2   3   3  (   )(   )               Bài 4.   Thực hiện   các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:  a) A   x   x   x   x   x 4   3   2  (   2)(   2   4   8   16)                   với x   3    .    A   211   b) B   x   x   x   x   x   x   x   x 7   6   5   4   3   2  (   1)(   1)                            với x   2    .    B   255   c) C   x   x   x   x   x   x   x 6   5   4   3   2  (   1)(   1)                         với x   2    .    C   129   d) D   x   x   x   x   x   x 2   2  2 (10   5   2)   5 (4   2   1)                   với x   5    .    D   5   Bài 5.   Thực hiện   các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:  a) A   x   x y   xy   y   x   y 3   2   2   3  (   )(   )                với x   y   1 2,   2        .    A   255 16    b) B   a   b   a   a b   a b   ab   b 4   3   2   2   3   4  (   )(   )                   với a   b 3,   2       .    B   275   c) C   x   xy   y   x   y   x y   x y   xy 2   2   2   2   3   2   2   3  (   2   2   )(   )   2   3   2                      với x   y  1   1 , 2   2        .    C   3 16    Bài 6.   Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào   x :

Các dạng toán và phương pháp giải Toán 8 – Ngô Văn Thọ

1 /  43   Nhóm Toán THCS   Toán h  c là đam mê  Nhóm Toán THCS:  https://www.facebook.com/groups/606419473051109/  Tr   ng THCS Ng     Li        c      p h  c k    II      T oán   8  N   c: 2017 - 2018  D  ng 1: Rút g  n bi  u th  c  Bài 1.   Cho bi  u th  c 2  2   5   1 3   6   2  x A   x   x   x   x  + =      + +   +        a) Rút g  n bi  u th  c A  b) Tìm x đ    A > 0  c) Tìm x          A nguyên dương.  Bài 2.   Cho các   bi  u th  c 2 2  2   2 1  x   x A   x  + =      và 2  1   2   1 3   2   2  x   x B   x   x   x     + =   +    +     a) Rút g  n bi  u th  c A, B;  b) Tính giá tr    c  a A khi 2   3; x      =  c) Tính C = A      B;  d) Tìm x        . C     Bài 3.   Cho bi  u th  c 2  2   1   3   11 3   3   9  x   x   x A   x   x   x  +    =   +   + +         và 3 1  x B   x   =   +   v  i 0   9. x      a) Rút g  n A;  b) V  i P = A.B, tìm x đ  9 . 2  P   =  c) Tìm x đ    B < 1  d) Tìm s    nguyên x đ    P = A.B là s    nguyên.  Bài 4.   Cho bi  u th  c 2 3  1   3 1   1  x   x A   x   x     + =          và 2 2  2 1  x B   x   x  + =   +   +   v  i 0   9. x      a) Rút g  n A;  b) Bi  t P = A: (1   -   B). Tìm x đ  1. P     Bài 5.   Cho bi  u th  c 2   2  1   3   1   2   1 : 1   1   1   1  x   x   x   x P   x   x   x   x     +   +     =           +               a) Rút g  n P;  b) Tìm các giá tr    c  a x đ  3   . 1  P   x  =     c) Tìm các giá tr    nguyên c  a x đ    A > 1  Bài 6.   Cho bi  u th  c (   )  2   2   5   50   5 2   10   2   5  x   x   x   x P   x   x   x x  +       =   +   + +   +  a) Tìm đi  u ki  n xác đ  nh c  a P;  b) Rút g  n bi  u th  c P.  c) Tìm các giá tr    c  a x đ  1 0;   . 4  P   P =   =  d) Tìm các giá tr    c  a x đ    P > 0; P < 0.2 /  43   Nhóm Toán THCS   Toán h  c là đam mê  Nhóm Toán THCS:  https://www.facebook.com/groups/606419473051109/  Bài 7.   Cho bi  u th  c 2  2   5   2 :   3 2   5   3   2   3   1  x P   x   x   x   x         =      +           +               a) Rút g  n P.  b) Tính giá tr    c  a P khi x th  a mãn 2   1   3 x      =  c) Tìm x đ    P > 1  d) Tìm x nguyên đ    P nguyên.  Bài 8.   Cho bi  u th  c 2 2   3   2  1   2 1   : 1   1   1  x   x A   x   x   x   x   x         =   +           +      +                a) Rút g  n A.  b) Tính giá tr    c  a A t  i 1 . 2  x   = −  c) Tìm x đ    A< 1  d) Tìm các giá tr    nguyên c  a x đ    A có giá tr    nguyên.  D  ng 2: Phương trình và b  t phương trình  Bài 1.   Gi  i các phương trình sau:  a) (   )   (   ) 5   6   4 3   2 x   x       =      d) 3   2   3   1   5 2 2   6   3  x   x   x  +   +    =   +  b) (   )   2  3   4   25   2   8   300 x   x   x   x       =   +      e) 2   2   8   1 7 5   6   3  x   x   x x      +       +   =   +  c) 5   2   8   1   4   2   5 6   3   5  x   x   x +      +    =      f) (   ) 2   3   13   4 2 7   21  x   x x     +    +   =  Bài 2.   Gi  i các phương trình sau:  a) (   )   (   ) 2   3   5   3   0 x x   x    +      =   d) 2   5   6   0 x   x    +   =  b) (   )   (   )(   ) 2   4   2   3   2   0 x   x   x             =   e) 3   2   2  2   6   3 x   x   x   x +   =   +  c) (   )   (   )  2   2  2   5   2 x   x +   =   +   f) 2  1   1 2   8   0. x   x x   x            +   +   +      =                      Bài 3.   Gi  i các phương trình sau:  a) (   )(   )  1   5   15 1   2   1   2 x   x   x   x     = +      +      d) 2 3   2  1   3   2 1   1   1  x   x x   x   x   x     =       +   +  b) 2  1   5   2 2   2   4  x   x   x x   x   x         = +         e) (   ) 2  7   5   1   1 8   4   8   2   2   8   16  x   x x   x   x   x x   x      +   =   +         c) 2   2   2  5   5   25 5   2   10   2   50  x   x   x x   x   x   x   x  +      +    =    +      f) 2   2   2  2   1   1 3   2   5   6   4   3 x   x   x   x   x   x  +   = +   +   +   +   +   +  Bài 4.   Gi  i các phương trình sau:  a) 5   3 x      =   c) 2   1   1 x   x +   =     b) 5   3   16 x   x    =      d) 2   1   5   2   3 x   x +         =

Đề cương ôn tập HK2 Toán 8 năm 2017 – 2018 trường Ngô Sĩ Liên – Hà Nội

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Nâng cao và phát triển Toán 8 – Vũ Hữu Bình (Tập 2)

Nâng cao và phát triển Toán 8 – Vũ Hữu Bình (Tập 1)

Bài giảng Toán 8

   c  ng toán 8- THCS Nguy  n Tr  ng T  - Hà N  i  1  S  n ph  m     c th  c hi  n v  i t  p th    giáo viên nhóm   TOÁN   -   THCS    NĂM HỌC 2018-2019  NỘI DUNG CHÍNH  1.   Bài toán phân thức tổng hợp  2.   Giải phương trình  3.   Giải bài toán bằng cách lập phương trình  4.   Giải bất phương trình  5.   Tam giác đồng dạng  6.   Bất đẳng thức  Dạng 1:   Bài tập tổng hợp về phân thức đại số  Bài 1 : Cho biểu thức:  3   2  3   2  8   2   4   4  A=   .   :  2   8   4   2  x   x   x   x  x   x   x   x                                   a. Tìm ĐKXĐ của biểu thức A. Rút gọn A.  b. Tìm x để A = 3  c. Tìm x để A < 1  d. Tính giá trị của A khi   1  2  x     Bài 2 : Cho biểu thức:  2  2   2  2   3   2   4   1  B=   :  2   1   1   4   2   1   4   1  x  x   x   x   x                                a. Rút gọn B.  b. Tính giá trị của B khi   2  3  x        .  c. Chứng minh   B<0   x    thỏa mãn ĐKXĐ của B.  d. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.  Bài 3 .   Cho biểu thức:  2   2  2   2  1   1   2  :  2   1   1  x   x   x   x  C   x   x   x   x   x   x                                         a.   Rút gọn biểu thức  b.   Tìm   x      1 C     c.   Tìm giá trị nhỏ nhất của   C   khi   1 x     Bài 4.   Giải các phương trình sau   c  ng toán 8- THCS Nguy  n Tr  ng T  - Hà N  i  2  S  n ph  m     c th  c hi  n v  i t  p th    giáo viên nhóm   TOÁN   -   THCS  a.                      2  2   3   3 4   2   4 x   x   x   x                  b.   2   3   4x   5 x           c.  2   2  2x   1   7x   2   1   3  8   12   4   6  x   x                    d.   2  3   15   7   0  4   20   50   2   6   30 x   x   x                  e.   2   20   0 x   x         f.              2  1   5   3   2   4 x   x   x   x x                     g.           2   1   4  3   1   3   1  x   x  x   x   x   x                       h.   2  76   2   1   3   1  5   16   4   4  x   x  x   x   x                       Bài 5.   Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:  a) (x + 3) 2         x(x – 4)   b) x 2         0  c)   2   3   1   3  1  4   4   3  x   x   x  x                   d)   5   3  3   1   5   4 x   x         Dạng 2 :   Giải bài toán bằng cách lập phương trình.  Bài 6.   Một tổ sản xuất dụ định may 40 chiếc áo trong 1 ngày. Khi thực hiện tổ đã vượt mức  dự định 12 chiếc sáo mỗi ngày. Vì vậy không những tổ hoàn thành sớm 2 ngày mà còn may thêm    Bài 7.   Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sauk hi đi 2/3 quãng đường với vận  tốc đó, người lái xe giảm tốc độ mỗi giờ 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó đến B chậm  hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB.  Bài 8.   Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng 3m  và giảm chiều dài 5m thì diện tích của khu vườn không thay đổi. Tính chu vi của khu vườn lúc    Bài 9.   Hai người được giao làm một công việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ.  Nếu người A làm trong 5 giờ và người B làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. Hỏi nếu  làm một mình thì mỗi người cần bao nhiêu lâu để hoàn thành công việc.  Bài 10:   Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may đươc 800 cái áo. Tháng Hai, tổ một vượt mức  15%, tổ hai vượt mức 20%, do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu  mỗi tổ may được bao nhiêu cái áo?  Dạng 3:   Hình học  Bài 11.   Chu vi   ABC    cân tại A là   80   cm   . Đường phân giác của góc    A   và    B   cắt nhai tại I. AI  cắt BC tại I. Cho   4  D   3  AI  I      . Tính các cạnh của   ABC    .

Đề cương Toán 8 HK2 năm 2018 – 2019 trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Hà Nội

PHÒNG GD & ĐT CẦU GIẤY    TỔ TOÁN   Năm học 2018 – 2019 DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1.   Cho biểu thức   2 11   3   36   3 1   : 1   3   3 9  x   x   x Q   x   x   x x                                                            với   3;   3 x   x      a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn   Q   b) Tính giá trị của   Q   biết   2 2   6   0 x   x      c) Tìm điều kiện của m để luôn có giá trị của x thỏa mãn   Q   m  d) Tìm   x      Q   x    e) Tìm   x      1 Q     Bài 2.   Cho biểu thức  2   2 2   2 2   2   1   6 :   2 4   4   2  x   x   x   x  A   x   x x   x   x   x                                     với   0;   2;   2 x   x   x         a) Rút gọn biểu thức A   b) Tính giá trị biểu thức A biết   2   1   3 x        c) Tìm x để   0 A      d) Tìm các giá trị x nguyên để B nhận giá trị nguyên e) Tìm GTNN của A với   2 x     Bài 3.   Cho biểu thức   2   2 9   3   5   1   7   14 : 1   5 4   5   1  x   x   x   x B   x   x x   x   x                                            với   1;   2;   5 x   x   x         a) Chứng minh  2   1 2  x   x  B   x             b) Tính giá trị B biết         2 5         0 x   x      c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên   d) Tìm x để   3  4  B        . e) Tìm x để   0 B      .   f) Tìm GTLN của M biết   2   : 2  M   B  x       g) Với   2, x      tìm GTNN của B.  Bài 3.   Cho biểu thức  2   2 2   2   3 2   4   2   3 : 2   2 4   2  x   x   x   x   x  P   x   x x   x   x                                     với   0;   2;   3 x   x   x         a) Rút gọn P   b) Tính giá trị của P biết      2 x     c) Tìm x để   0 P      d) Tìm x thỏa mãn   8 P     e) Tìm GTNN của P khi   3 x     Bài 4.   Cho biểu thức   2 2   5   1 3   2 6  x M   x   x x   x                     với   3;   2 x   x      a) Chứng minh   4  2  x M   x          b) Tìm x biết   3 M     c) Tính giá trị của M biết         2 2   2   1   3    x   x   x         d) Tìm giá trị của tham số m để phương trình   M   m    có nghiệm duy nhất.  Bài 5.   Cho biểu thức  2 3   2 1   8   4 2   8   2   4  x P   x   x   x   x                      với   2 x     a) Rút gọn biểu thức P   b) Tính giá trị của biểu thức P biết   2 2      0 x   x      c) So sánh P với 0   d) Tìm GTNN của P  Bài 6.   Cho 2 biểu thức   2  1 1   1  x  A   x   x            và  2 2   1  x   x  B   x          với   1  1;   1;   2  x   x   x       a) Tính giá trị của biểu thức B khi   2 4   1 x      b) Rút gọn   . M   A B  c) Tìm giá trị x để M < 1  Bài 7.   Cho biểu thức  2   2 1  x   x  A   x         và   2  2   2   16  2   2   4  x   x B   x   x   x                       với   2;   1 x   x      a) Tính giá trị của A khi      2 x      b) Đặt   . P   A B    . Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để   8 P     DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài 8.   Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7 giờ. Tính quãng đường từ bến A đến bến B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 2km/giờ.  Bài 9.   Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 45km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 40km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút. Tính quãng đường AB.  Bài 10.   Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi và về là 5h 50 phút.  Bài 11.   Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sau đó 30 phút, một xe con xuất phát từ B để đi đến A với vận tốc 60km/h. Biết quãng đường AB dài 80km/h. Hỏi sau bao lâu kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau?  Bài 12.   Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30km/h. Trên quãng đường từ đền Hùng về Hà Nội, vận tốc ô tô tăng thêm 10km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi 36 phút. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng.  Bài 13.   Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm trong 1 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm    Bài 14.   Một tổ dự định mỗi giờ dệt 28m vải. Nhưng thực tế mỗi giờ, tổ đó đã dệt ít hơn 4m vải. Do vậy, tổ đã làm quá thời gian dự định 2h mà còn thiếu 5m vải nữa mới hoàn thành kế hoạch. Tính số vải tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch.  Bài 15.   Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Trước khi thực hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa. Do đó mặc dù mỗi giờ người đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.  Bài 16.   Hai công nhân cùng làm một công việc trong 4 ngày thì xong. Biết rằng nếu một mình xong công việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc.  Bài 17.   Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.  Bài 18.   Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu?

Đề cương ôn tập Toán 8 HK2 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Cầu Giấy – Hà Nội

Nhóm giáo viên toán VD      VDC - THCS  TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I    Nhóm giáo viên toán VD      VDC   -   THCS     BÀI Câu 1.   K  t qu    c  a phép tính     3   1 2   3   12   6  x   xy   x   xy                       là:  A. 4   2   2   2 1   1   2 3   2  x y   x y   xy          B. 4   2   2   2 1   1   2 3   2  x y   x y   xy         C. 4   2   2   2   3 1   1   2 3   2  x y   x y   x y          D. 4   2   2   2 1   1   2 3   2  x y   x y   x y         Hướ ng d  n  Ch  n D. Ta có:     3   4   2   2   2 1   1   1 2   3   12   2 6   3   2  x   xy   x   xy   x y   x y   x y                               Câu 2.   Kết quả của phép tính 2  1   0,5 2   x                 là :  A. 2 1   1   0,25 2   2  x   x       B. 2 1   0,25 4   x     C. 2 1   0,5   2,5 4   x   x       D. 2 1   0,5   0,25 4   x   x      Hướ ng d  n  Ch  n D.      2 ta có : 2 2 1   1 0,5   0,5   0, 25 2   4  x   x   x                         Câu 3.   Tính và thu g  n              2   2   2   2   2   2   2  3   3   2   3   2   3   2 x   x   y   x   y   x   y              c k  t qu    là:  A. 2   2   4  6   4 x y   y    B. 2   2   4  6   4 x y   y       C. 2   2   4  6   4 x y   y       D. 4   4  18   4 x   y   Hướ ng d  n  Ch  n C.  Ta có:                       2   2   2   2   2   2   2   2   2   2   2   2  3   3   2   3   2   3   2   3   2   3   3   2 x   x   y   x   y   x   y   x   y   x   x   y                    Nhóm giáo viên toán VD      VDC - THCS        2   2   2  3   2   2 x   y   y      2   2   4  6   4 x y   y      Câu 4.   Biểu thức rút gọn của         2   2  2   4   2 x   y   x   xy   y          là:  A. 3   3  2 x   y    B. 3   3  8 x   y    C. 3   3  8 x   y    D. 3   3  8 x   y   Hướ ng d  n  Ch  n D.      6 ta có:               3   3 2   2   3   3  2   4   2   2   8 x   y   x   xy   y   x   x y   y                   Câu 5.   Chọn kết quả đúng        2   3   2   3 x   y   x   y       bằng   :  A. 2   2  4   9 x   y    B. 2   2  2   3 x   y    C. 2   2  4   9 x   y    D. 4   9 x   y   Hướ ng d  n  Ch  n A.      3 ta có:                     2   2   2   2  2   3   2   3   2   3   4   9 x   y   x   y   x   y   x   y                Câu 6.   Tính 2  1 5  x                 ta được :  A. 2   1 4 1 2  x   x       B. 2   1 8 1 2  x   x      C. 2   1 25 2 5  x   x       D. 2   1 4 1 2  x   x      Hướ ng d  n  Ch  n C.      nh  t ta có: 2 2 2 2   1 1   1   1   2 2. 5   .   5 5   5   5   2  x   x   x x   x                                                Câu 7.   Tính                     2   2  1   2   1   2   2 1   2   1   2 y   y   y   y                   b  ng:  A. 2  4   y   B. 2  4 x   C. 4   D. 4   Hướ ng d  n  Ch  n C.      nh  t ta có:                                  2 2   2 2  1   2   1   2   2 1   2   1   2   1   2   4 2   2 1 y   y   y   y   y   y                                        Câu 8.   Tính                 2 2   2 2  7   2   7   2   2 49   4 x   y   x   y   x   y                là :

350 bài tập trắc nghiệm phép nhân và phép chia các đa thức

TÀI LIỆU TOÁN HỌC  1  B  I   D  NG   VÀ   PHÁT   TRI  N   T    DUY   T   PHÁ   TRONG   GI  I  TOÁN   H  C   8  T  P   2  HÌNH   H  C  THEO   CHU  N   KI  N   TH  C   K    N  NG    Tóm   t  t   lí   thuy  t   c  n   b  n     Gi  i   chi   ti  t,   phân   tích,   bình   lu  n,   h  ng   d  n   làm   bài   dành   cho   h  c   sinh   l  p   8  và   chuyên   Toán.     Tham   kh  o   cho   ph    huynh   và   giáo   viên.TÀI LIỆU TOÁN HỌC  2  L  I   NÓI    U  Sách   giáo   khoa   Toán   8   hi  n   hành    c   biên   so  n   theo   tinh   th  n    i   m  i   c  a   ch  ng  trình   và   ph  ng   pháp   d  y      h  c,   nh  m   nâng   cao   tính   ch  ng,   tích   c  c   c  a   h  c   sinh  trong   quá   trình   h  c   t  p.  Tác   gi    xin   trân   tr  ng   gi  i   thi  u   cu  n   sách    B  I   D  NG   VÀ   PHÁT   TRI  N   T   DUY    T   PHÁ   TRONG   GI  I   TOÁN   H  C   8     c   vi  t   v  i   mong   mu  n   g  i   t  i   các  th  y   cô,   ph    huynh   và   các   em   h  c   sinh   m  t   tài   li  u   tham   kh  o   h  u      trong   d  y   và   h  c  môn   Toán      c  p   THCS   theo    nh   h  ng    i   m  i   c  a   B    Giáo   d  c   và       t  o.  Cu  n   sách    c   c  u   trúc   g  m   các   ph  n:     Ki  n   th  c   c  n   b  n   c  n   n  m :   Nh  c   l  i   nh  ng   ki  n   th  c   c    b  n   c  n   n  m,   nh  ng  công   th  c   quan   tr  ng   trong   bài   h  c,   có   ví   d    c    th  ...     Bài   t  p   sách   giáo   khoa,   bài   t  p   tham   kh  o :   L  i   gi  i   chi   ti  t   cho   các   bài   t  p ,   bài   t  p   c   tuy  n   ch  n   t    nhi  u   ngu  n   c  a   môn   Toán    c   chia   bài   t  p   thành   các   d  ng   có  ph  ng   pháp   làm   bài,   các   ví   d    minh   h  a   có   l  i   gi  i   chi   ti  t...Có   nhi  u   cách   gi  i   khác   nhau  cho   m  t   bài   toán...  Cu  n   sách   này   còn   là   tài   li  u   tham   kh  o   b       cho   quí   th  y   cô   giáo   và   các   b  c   ph   huynh   h  c   sinh      h  ng   d  n,   giúp      các   em   h  c   t  p   t  t   b    môn   Toán.  Các   tác   gi 

Bồi dưỡng và phát triển tư duy đột phá Toán 8 (Tập 2: Hình học)

Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 8  [Document title]   PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 8  1  BÀI TẬP CHƯƠNG I – PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC 1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC  ....................................................................................... 2  2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC   .......................................................................................... 5  3. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  ....................................................................... 9  4. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  ..................................................................... 12  5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  ..................................................................... 15  5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  ..................................................................... 18  6. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG   .. 19  7. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PP HẰNG ĐẲNG THỨC   ......... 22  8. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PP NHÓM HẠNG TỬ   .............. 26  PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ [NÂNG CAO] ............................................... 29  9. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP  . 30  10. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC   ................................................................................ 33  11. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC .................................................................................... 37  12. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP   ....................................................................... 40   ....................................................................................... 43  Nguồn: Tổng hợp Tài liệu lưu hành nội bộ!Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 8  [Document title]   PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 8  2  1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích của chúng lại với nhau.  II. HƯỚNG DẪN MẪU Khi thành thạo:      3   3 4   2 2 . 4   2   5   2 .4   2 .2   2 .5 8   4   10  x   x   x   x   x   x   x   x  x   x   x                       III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1:   Thực hiện các phép tính sau:   [CB - Rèn kỹ năng nhân]  a)       2   3   2   2   3  2   .   2   5 xy   x y   x y   xy          b)             3   2 2       .   1 x   x   x   x       c)       2   3 3   2      5 x   x   x     d)   3   2   1   1 10   . 5   3   2  x   y   z   xy                                                            e)     2   4 3      . 9   3  x y   xy   x   xy                              f)         2  4   3      . 5 xy   y   x   x y   Bài 2:   Thực hiện các phép tính sau:   [Rèn kỹ năng nhân và cộng trừ đa thức]  a)       2 5   3   2 x   x x       c)             2   2   2   2   2  3   . 2         2    . 2 x y   x   y   x   x y   y  b)             3   5   5   7 x x   x x          d)                   2   2 3   2      5       .   . x   y   x   y   x   x               e)             3   2 3   2 4   2 4   2   7 x   x   x   x   x x   x             f)             2  25   4 3   1   7   5   2 x   x   x   x            Bài 3:   Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức. [ Rèn kỹ năng tính và thay số]  a)             7   5   3   2 A   x x   x             tại   0. x    b)             4   2   3   5   2 B   x   x   x x             tại   2 x      . c)             2   2   2   2013 C   a   a   b   b a   b                , với   1;   1; a   b     d)             1   1 D   m m   n   n n   m                   , với   2   1  ;   .  3   3  m   n    

Chuyên đề phép nhân và phép chia các đa thức

TÀI LIỆU TOÁN HỌC  1  B  I   D  NG   VÀ   PHÁT   TRI  N   T    DUY   T   PHÁ   TRONG   GI  I  TOÁN   H  C   8  T  P   1   I   S   THEO   CHU  N   KI  N   TH  C   K    N  NG     Tóm   t  t   lí   thuy  t   c  n   b  n     Gi  i   chi   ti  t,   phân   tích,   bình   lu  n,   h  ng   d  n   làm   bài   dành   cho   h  c   sinh   l  p   8  và   chuyên   Toán.     Tham   kh  o   cho   ph    huynh   và   giáo   viên.TÀI LIỆU TOÁN HỌC  2  L  I   NÓI    U  Sách   giáo   khoa   Toán   8   hi  n   hành    c   biên   so  n   theo   tinh   th  n    i   m  i  c  a   ch  ng   trình   và   ph  ng   pháp   d  y      h  c,   nh  m   nâng   cao   tính   ch  ng,  tích   c  c   c  a   h  c   sinh   trong   quá   trình   h  c   t  p.  Tác   gi    xin   trân   tr  ng   gi  i   thi  u   cu  n   sách    B  I   D  NG   VÀ   PHÁT  TRI  N   T    DUY    T   PHÁ   TRONG   GI  I   TOÁN   H  C   8     c   vi  t   v  i  mong   mu  n   g  i   t  i   các   th  y   cô,   ph    huynh   và   các   em   h  c   sinh   m  t   tài   li  u  tham   kh  o   h  u      trong   d  y   và   h  c   môn   Toán      c  p   THCS   theo    nh   h  ng   i   m  i   c  a   B    Giáo   d  c   và       t  o.  Cu  n   sách    c   c  u   trúc   g  m   các   ph  n:     Ki  n   th  c   c  n   b  n   c  n   n  m :   Nh  c   l  i   nh  ng   ki  n   th  c   c    b  n   c  n  n  m,   nh  ng   công   th  c   quan   tr  ng   trong   bài   h  c,   có   ví   d    c    th  ...     Bài   t  p   sách   giáo   khoa,   bài   t  p   tham   kh  o :   L  i   gi  i   chi   ti  t   cho   các   bài  t  p ,   bài   t  p    c   tuy  n   ch  n   t    nhi  u   ngu  n   c  a   môn   Toán    c   chia   bài   t  p  thành   các   d  ng   có   ph  ng   pháp   làm   bài,   các   ví   d    minh   h  a   có   l  i   gi  i   chi  ti  t...Có   nhi  u   cách   gi  i   khác   nhau   cho   m  t   bài   toán...  Cu  n   sách   này   còn   là   tài   li  u   tham   kh  o   b       cho   quí   th  y   cô   giáo   và  các   b  c   ph    huynh   h  c   sinh      h  ng   d  n,   giúp      các   em   h  c   t  p   t  t   b   môn   Toán.  Các   tác   gi 

Bồi dưỡng và phát triển tư duy đột phá Toán 8 (Tập 1: Đại số)

Tổng hợp bởi: Toán Họa – 0986 915 960   Trang 1    A – ĐẠI SỐ I. LÝ THUYẾT  1) Nắm vững các quy tắc nhân, chia đơn thức với đơn thức, đơn thức với đa thức, phép chia hai đa thức 1 biến. 2) Nắm vững và vận dụng được 7 hằng đẳng thức - các phương pháp phân tích  3) Nắm vững và vận dụng tính chất cơ bản của phân thức, các quy tắc đổi dấu - quy tắc rút gọn phân thức, tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức. 4) Thực hiện các phép tính về cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. II. BÀI TẬP  Dạng 1: Thực hiện phép tính. (Tính và rút gọn) Bài 1:  a)           2 4   2   1   2   1        x   x   x   ; b)   2 2 1   1 2   2   2   2               x   x x   x  c)             4   3   2   2 3   7   2   2 : 3   1                 x   x   x   x   x   x  d)           2   2  2   4   2        x   y   x   xy   y   ; e)   2   2   3   2 3   6   12              a   b   a   b   b  ab   b   a  f)   2 2 1   3 2   2   2   2             x   x x   x   ;  Bài 2:  a)             3   2 6   7   2 : 2   1              x   x   x   x   ; b)   2 6   3 2   6   2   6           x x   x   x   ; c)  2 2 3 1   :   1 1   1                                 x   x x   x  d)             4   2   2   3   2   2   2 4   4   8   8   :   2 xy   x y   x   x y   y   x            e)             4   3   2   2 2   3   8   3   :   3           x   x   x   x   x   x   ; f)   2   2 2   12   1   3   2 6   1                  x   x   x   x x   x   ; h)   2 1   :   3 1   1                                    x   x x   x   x  i)             2   3 9   8   3   2 : 2   2           x   x   x   x  Bài 3:  a)   2   3 1   3 : 2   2                             x   x   x   x   ; b)   2 2 2                       x   xy   x   y   y  x   xy   x   y   x   y  c)                           2  4   4   2   4   4   4 x   x   x   x   x                     d)             3   2 3   4   13   4 : 3   1 x   x   x   x            e)         2 2 2   16 4   4  x x   x            f)   2 1   2   3   1 1   1   1  x   x   x  x   x   x                    Tổng hợp bởi: Toán Họa – 0986 915 960   Trang 2    Bài 4:  a)   2 2 1   3 2   2   2   2  x   x x   x             b)                               3   2 2   1   1 x   x   x   x  c)               2 6   6   2   4 5   5 25  x x   x x  i)   x  x x x x x  2 4  2 4 2 2 4 4 2             d)       3   2 3   2   : 2     x   x   x   x  e)           2   2   3     x   x  g)                   1   1  x x   y   y x   y  h)                  2 3   2   8 1   1   1  x   x   x  x   x   x  Bài 5:  a)   6 2  9 6 2       x  x x  b)   2 1 4 1 1 1 1  x x  x x x           c)   4 4  4 2 2      x x  x  h)                         2   2 1   1   1   1 x   x   x   x   x   x                     d)   1 9  9 9 3 1   2 2         x  x x x  e)   3 2 2 3   3 3 3 3  y xy y x x x y       f)   1 4  2 16 1 4   2 4 2        x  x x x  g)   2 2   1 2 2 ) 1 ( 31 3  x x x x        Dạng 2: Toán về phép chia đa thức Bài 1.   Làm phép chia: a. 3x   3 y 2   : x 2   b. (x 5   + 4x 3    2   ) : 4x   2 c. (x 3      2   + 2x + 4)   d. (3x   2    e. (x 3   + 2x 2      2   + 3x + 1)  Bài 2 : Làm tính chia a. (x   3    2   + x – 3) : (x – 3)   d. (2x   4    2   + x 3      2    b. (x – y – z)   5   : (x – y – z)   3   e. (x 2   + 2x + x 2    c. (2x   3   + 5x 2      2      f. (2x   3    2   + 6x – 15) : (2x – 5)  Bài 3:  1. Tìm n để đa thức x 4    3   + 6x 2      2    2. Tìm n để đa thức 3x   3   + 10x 2    3*. Tìm tất cả các số nguyên n để 2n 2   + n – 7 chia hết cho n – 2.

Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán 8

TOÁN   8  TỰ HỌC TOÁN 8  Th.s NGUYỄN CHÍN EMTự học Toán 8   Năm học 2019-2020  MỤC LỤC  PHẦN I      1  CHƯƠNG 1   Phép nhân và phép chia đa thức   3  1   Nhân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 A   Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 B   Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 2   Các hằng đẳng thức đáng nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 A   Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 3   Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25 A   Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25 B   Phân loại các dạng toán và phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   25 C   Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28 4   Chia đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   38 A   Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   38 B   Phân loại các dạng toán và phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   38 C   Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39  CHƯƠNG 2   Phân thức đại số   47  1   Tính chất cơ bản của phân thức, rút gọn phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   47 A   Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   47 B   Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   47 2   Các phép tính về phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   56 A   Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   56 B   Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   56 C   Bài tập tự luện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58 3   Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   82 A   Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   82 B   Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   85 C   Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   86 D   Phương pháp xét giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87 E   Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87 4   Tính chia hết của số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92 A   Chứng minh quan hệ chia hết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92 B   Tìm số dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   96 C   Tìm điều kiện để chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   97 D   Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   99     Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em  Trang i/477      GeoGebraPro

Tài liệu tự học Toán 8 – Nguyễn Chín Em

Nguyễn Tất Thu  CHƯƠNG   1   TỨ GIÁC  B   i   1.   TỨ GIÁC  A. ĐỊNH NGHĨA  1. Tứ giác    Tứ giác   ABCD   là hình gồm bốn đoạn thẳng   AB ,   BC ,   CD ,   D A , trong đó bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.  A  B  C  D  2. Tứ giác lồi  Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.  B. TÍNH CHẤT  Tính chất 1.   Tổng các góc của một tứ giác bằng   360  .  VÍ DỤ 1.   Tìm   x   trong các hình bên dưới  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  A  B  D  C  110   120   80   x  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  A  B   C  D  x  3 3Nguyễn Tất Thu  4   CHƯƠNG 1.   TỨ GIÁC  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   A  B  C  D  x  65   4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   A  B   C  D  4 x  2 x  3 x  x  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   A   D  B   C  x  40   50   80   VÍ DỤ 2.   Cho tứ giác   ABCD   có   AB   =   AD ,   CB   =   CD .  1   Chứng minh rằng   AC   là đường trung trực của đoạn   BD .  2   Biết góc      C   =   100  ,      A   =   60  . Tính góc      B   và      D .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  VÍ DỤ 3.   Cho tứ giác   ABCD   có   B + D   =   180    và   CB   =   CD . Chứng minh rằng   AC   là phân giác của góc   A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lý thuyết và bài tập chuyên đề tứ giác – Nguyễn Tất Thu

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  A. LÝ THUYẾT:  1. Bình phương của một tổng:       2   2   2  2 A   B   A   AB   B            2. Bình phương của một hiệu:       2   2   2  2 A   B   A   AB   B            3. Hiệu hai bình phương:           2   2  A   B   A   B   A   B            4. Lập phương của một tổng:       3   3   2   2   3  3   3 A   B   A   A B   AB   B               5. Lập phương của một hiệu:       3   3   2   2   3  3   3 A   B   A   A B   AB   B               6. Tổng hai lập phương:           3   3   2   2  A   B   A   B   A   AB   B               7. Hiệu hai lập phương:           3   3   2   2  A   B   A   B   A   AB   B               Ngoài ra, ta có các   hằng đẳng thức hệ quả   của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi  biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,...  1. Tổng hai bình phương:       2 2   2   2 A   B   A   B   AB            2. Tổng hai lập phương:              3 3   3   3 A   B   A   B   AB   A   B               3. Bình phương của tổng 3 số hạng:             2   2   2   2   2 A   B   C   A   B   C   AB   BC   CA                        4. Lập phương của tổng 3 số hạng:                   3   3   3   3   3 A   B   C   A   B   C   A   B   B   C   C   A                           B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:  Dạng 1: Biến đổi biểu thức  Phương pháp:    Bài 1:   Thực hiện phép tính:  a)       2  3   2 x   y       b)       2  x   xy       c)   2   2  4 x   y    d)              2   2  2 x   y   y         Giải  a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:                            2   2   2   2   2  3   2   3   2   3   2   2   9   12   4 x   y   x   x   y   y   x   xy   y                              b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:                          2   2   2   2   2   2   2  2   2 x   xy   x   x   xy   xy   x   x y   x y                              c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:                2 2   2   2  4   2   2   2 x   y   x   y   x   y   x   y                  d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:                                            2   2  2   2   2 x   y   y   x   y   y   x   y   y                                      2   2   2 x   y   x            Bài 2:   Thực hiện phép tính:  a)                     2   2   2   2  x   y   x   xy   y   x   y   x   xy   y                     b)   3   2  2   6   6   2 x   x   x         c)   3   2  6   12   8 x   x   x         d)              3   3  2 x   y   x   y         Giải  a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:                    2   2   2   2  x   y   x   xy   y   x   y   x   xy   y                                3   3   2   2   3   3   3   3   3  2 x   y   x   y   x   xy   y   x   y   x   y   x                                 b) Ta có:       3   2   3   2  2   6   6   2   2   3   3   1 x   x   x   x   x   x                      .               3 3   2  2   3   3   1   2   1 x   x   x   x                .  c) Ta có:   3   2   3   2   2   3  6   12   8   3.2   3.2 .   2 x   x   x   x   x   x                            3 3   2   2   3  3.2.   3.2 ..   2   2 x   x   x   x               d) Áp dụng bất đẳng thức ta được:              3   3  2 x   y   x   y                             2   3 3   2   2   3   3   2  3   3   3.   2   3. . 2   2 x   x y   xy   y   x   x   y   x   y   y                        3   2   2   3   3   2   2   3  3   3   6   12   8 x   x y   xy   y   x   x y   xy   y                        2   2   3  9   9   9 x y   xy   y         Bài 3:   Rút gọn biểu thức:  a)           a   b   c   d   a   b   c   d                  b)           2   3   2   3 x   y   z   x   y   z          

Chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ

1  PHÒNG GD&ĐT BA ĐÌNH  TRƯỜNG THCS THĂNG LONG   P   HỌC KÌ I   - MÔN TOÁN 8  Năm họ c 2021      2022  A. PHẦN ĐẠI SỐ  I.   KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1) C  ,     2) 7 hằng đẳng thức   -   các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.  3) T    -   quy tắc rút gọn phân thức, tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức.  4) Các   quy tắc: cộng, trừ , nhân, chia   các phân thức đại số.  II.   CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN :  Bài 1.   Thực hiện các phép tính sau : a) (x + 3)(x - 3)   b) (2x - y)(4x 2   + 2xy + y 2 ) c) (6x 5 y 2   - 9x 4 y 3   + 15x 3 y 4 ): 3x 3 y 2   d) (2x 3   - 21x 2   + 67x - 60):(x - 5) e) (27x 3   - 8): (6x + 9x 2   + 4)   f) (2x 2      5x 3   + 2x + 2x 4   -1) : (x 2      x      1)  Bài 2.   Rút gọn các biểu thức sau:  a) (x + y) 2   - (x - y) 2   b) (a + b) 3   + (a - b) 3   - 2a 3  c) (x + 3)(x + 7)      (x + 1)(x      1)   d) (x+1)(x 2      x + 1)      (x-1)(x 2   + x + 1) e) (2 + 1)(2 2   + 1)(2 4   + 1)(2 8   +1)(2 16   + 1)  Bài 3.   Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến   x,y:  A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x 2   - 6x + 9) - 2(4x 3   - 1) C = (x - 1) 3   - (x + 1) 3   + 6(x + 1)(x - 1)  Bài 4.   Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:  a) 3x 3   + 6x 2   +3x   b) x 2   - y 2   - 2x + 2y   c) x 2   - 25 + y 2   + 2xy d) x 2 (x -1) + 16(1 - x)   e) 8a(b      c) + 6b( c      b)   g) x 2   + 8x + 15 h) x 2   - x - 12   i) (x 2   + x) 2   + 3(x 2   + x) + 2  Bài 5.   Tìm x biết : a) 2x(x -5) - x(3+2x) = 26   b) (4x - 1)(x + 3)      (2x - 1) 2   = 0   c) 5x(x-1) = x      1 d) 2(x+5) - x 2   - 5x = 0   e) (2x -3) 2   - (x+5) 2   = 0   g) 3x 3   - 48x = 0 h) x 2      6x = - 9   i) x 2      x      6 = 0  Bài 6.   Chứng minh rằng biểu thức : A = x(x -   6) + 10 luôn luôn dương   với mọi giá trị của   x. B = x 2   - 2x + 9y 2   -   6y + 3 luôn luôn dương với mọi giá trị của   x, y.  Bài 7.   Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất (nếu có) của   các   biểu thức   sau : A = x 2   - 4x + 1   B = 4x 2   + 4x + 11   C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x 2   E = 4x - x 2   + 1  Bài 8. Xác định a, b, c để đa thức:  a)   x 3   + x 2   + a -   x chia hết cho (x + 1) 2  b) x 3   + 5x 2      6x + a chia hết cho ( x –   2) c) x 4      x 3   + 6x 2      x + a chia hết cho x 2      x + 5  Bài 9.   Cho các phân thức sau:2  A = ) 2 )( 3 ( 6 2      x x x   B = 9 6 9  2 2      x x x   C   = x x x  4 3 16 9   2 2     D = 4 2 4 4 2      x x x   E = 4 2   2 2     x x x   F = 8 12 6 3   3 2      x x x  a)   Với điều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định.  b)   Rút gọn   các   phân thứ c trên. c ) Tìm x để giá trị   của các phân thức trên bằng 0.  Bài 10.   Thực hiện các phép tính sau :  a) 6 2 1     x x   + x x x  3 3 2 2      b) 6 2 3   x x x x  6 2 6  2       c) y x x  2    + y x x  2    + 2 2  4 4  x y xy    d) 2 3 1   x 2  9 4 6 3 2 3 1  x x x        e) y x 2  2 3   + 2  5  xy   + 3  y x  Bài 11.   Cho biểu thức: 2  2   2   8 2   4   2   4   4  x   x B   x   x   x                      với x ≠ ±2  a)   Rút gọn biểu thức B  b)   Tìm giá trị của x để B > 0  c ) Tìm giá trị nguyên của x để   B   cũng nhận giá trị nguyên.  Bài 12.   Cho biểu thức: 2  2   9   3   2   1 5   6   2   3  a   a   a C   a   a   a   a                            với x ≠ 3 và x ≠2  a) Rút gọn biểu   thức   C  b) Tính giá trị của biểu thức   C khi   a thỏa mãn 3  a   . c)   Tìm giá trị nguyên của a để   C   cũng nhận giá trị nguyên.  Bài 13.   Cho biểu thức: 2   2   2  5   2   5 : 25   5   5                              x   x   x M   x   x   x   x   x  a ) Rút gọn M.  b ) Tính giá trị của M tại x = 2,5 . c) Tìm gi  .  Bài 14.   Cho 2   2 2   2   3  2   4   2   3 : 2   2 4   2  x   x   x   x   x P   x   x x   x   x                                     a)   Tìm điều kiện của x để giá trị của   P   xác định.  b)   Rút gọn P.  c)   Tính giá trị của P   với 5   2 x         .  B. HÌNH   HỌC  I.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  1)     2)      hình thang, hình thang cân, hình bình hành, h    hình thoi, hình vuông. g) 1 3     x x   + 1 1 2     x x   + 1 5  2      x x  h) 2 3  2       x x x   + 6 5 4  2       x x x  i) 6 2 1     x x  x x x  2 2 3  2      k) 1 6 6 : ) 1 ( 3 3   2 2        x x x x

Đề cương ôn tập học kì 1 Toán 8 năm 2021 – 2022 trường THCS Thăng Long – Hà Nội

1  CHUYÊN Đ  :   GIÁ TR    L  N NH  T, GIÁ TR    NH    NH  T C  A BI  U TH  C  A.   Giá tr    l  n nh  t, giá tr    nh    nh  t c  a m  t bi  u th  c  Khái ni  m:   N  u v  i m  i giá tr    c  a bi  n thu  c m  t kho  ng xác đ  nh nào đó mà giá tr    c  a  bi  u th  c A luôn luôn l  n hơn ho  c b  ng (nh    hơn ho  c b  ng) m  t h  ng s    k và t  n t  i m  t  giá tr    c  a bi  n đ    A có giá tr    b  ng k thì k g  i là giá tr    nh    nh  t (giá tr    l  n nh  t)   c  a bi  u  th  c A    ng v  i các giá tr    c  a bi  u th  c thu  c kho  ng xác đ  nh nói trên  Xét bi  u th  c ( ) A x  +) Ta nói ( ) A x   có giá tr    l  n nh  t là M, n  u ( ) A x   M   x      và có giá tr    x 0   sao cho 0 (   ) A x   M =   (Ch    ra 1 giá tr    là đư  c)  +) Ta nói ( ) A x   có giá tr    nh    nh  t là m, n  u ( ) A x   m   x      và có giá tr    x 0   sao cho 0 (   ) A x   m =   (Ch    ra 1 giá tr    là đư  c)  Như v  y   :  a) Đ    tìm giá tr    nh    nh  t c  a A, ta c  n   :  -   Ch  ng minh A   k    v  i k là h  ng s   -   Ch    ra d  u “ = ” có th    x  y ra v  i giá tr    nào đó c  a bi  n  b) Đ    tìm giá tr    l  n nh  t c  a A, ta c  n   :  -   Ch  ng minh A   k    v  i k là h  ng s   -   Ch    ra d  u “ = ” có th    x  y ra v  i giá tr    nào đó c  a bi  n  Ký hi  u:   Min A là giá tr    nh    nh  t c  a A và Max A là giá tr    l  n nh  t c  a A  Ví d  :   Sai l  m2 2   2   2  ( )   2   2   3   (   1)   2   2   2 A x   x   x   x   x   GTNN =      +   =   +      +         =  ( Không ch    ra đư  c d  u = )     : 2 1   5   5   5   1 ( )   2(   ) 2   2   2   2   2  A x   x   GTNN   x =      +         =      =  B. Các d  ng toán  D  ng 1: Tìm GTLN, GTNN c  a tam th  c b  c hai 2  ax   bx   c +   +  Phương pháp:     ng h  ng đ  ng th  c s    1 và s    2  Bài 1:   Tìm GTNN c  a các bi  u th  c sau  a. 2  ( )   4   24 A x   x   x =      +   b. 2  ( )   2   8   1 B x   x   x =      +  c. 2  ( )   3   1 C x   x   x =   +     L  i gi  i  a. 2   2  ( )   4   24   (   2)   20   20   min   ( )   20   2 A x   x   x   x   x   A x   x =      +   =      +         =      =  b. 2   2   2  ( )   2   8   1   2(   4   4)   7   2(   2)   7   7   minB   7   2 B x   x   x   x   x   x   x =      + =      +      =            = −      =  c. 2   2 1   13   13   1 ( )   3   1   3(   ) 6   12   12   6  C x   x   x   x   x      =   +      =   +            =  Bài 2:   Tìm GTLN c  a các bi  u   th  c sau  a. 2  ( )   5   4   1 A x   x   x = −      +   b. 2  ( )   3   1 B x   x   x = −   +   +  L  i gi  i  a. 2   2   2 4   1   2   9   9   2 ( )   5   4   1   5(   )   5(   ) 5   5   5   5   5   5  A x   x   x   x   x   x   x    = −      +   = −   +      = −   +   +         =  b. 2   2 1   13   13   1 ( )   3   1   3(   ) 6   12   12   6  B x   x   x   x   x = −   +   +   = −      +         =

Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bồi dưỡng HSG Toán 8

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN  A. BÀI GIẢNG  1. ĐỊNH NGHĨA     Bất phương trình dạng:  0,   0,   0,   0 ax   b   ax   b   ax   b   ax   b                         ,  Với a và b là hai số đã cho và   0 a      , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.  2. HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH  a.Quy tắc chuyển vế  Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:  0 a   b   c   a   b   c                      chuyển vế và đổi dấu.  Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy, cụ thể:  Quy tắc chuyển vế:   Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu  hạng tử đó.  Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau  sẽ minh họa điều này.  Ví dụ 1.   Sử dụng quy tắc chuyển vế giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó  trên trục số:  .   3   4 a x         . 3   2   2 b   x   x      Giải  a. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng:  3   4   4   3   1 x   x   x                      .  Vậy, bất phương trình có nghiệm   1 x      và ta có biểu diễn:  b. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng:  3   2   2   3   2   2   2 x   x   x   x   x                      .  Vậy, bất phương trình có nghiệm   2 x      và ta có biểu diễn:  Ví dụ 2.   Giải các bất phương trình sau:  .   12   21 a x         .   2   3   5 b   x   x         Giải  a. Ta có biến đổi:   12   21   21   12   9 x   x   x                      .  Vậy, bất phương trình có nghiệm   9 x      .  b. Ta có biến đổi:   2   3   5   3   2   5   5 x   x   x   x   x                      Vậy, bất phương trình có nghiệm   5 x     b. Quy tắc nhân với một số  Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:  2   4   2   1   2   1 a   b   b                   nhân cả hai vế với   1   0  2      (hoặc chia cả hai vế cho   2   0    )  3   6   2 a   a                nhân cả hai vế với   1   0  3        (hoặc chia cả hai vế cho   3   0       ).  Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy, cụ thể:  Quy tắc nhân với một số:   Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0,  ta phải:  1. Giữ nguyên chiều của bất phương tình nếu số đó dương.  2. Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.  Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau  sẽ minh họa điều này.  Ví dụ 3.   Sử dụng quy tắc nhân với một số giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của  nó trên trục số:  . 3   6 a   x      1  .   2  2  b   x      Giải  a. Sử dụng quy tắc nhân với một số, biến đổi phương trình về dạng:  3   6   2 x   x         Vậy, bất phương trình có nghiệm   2 x      và ta có biểu diễn:  b. Sử dụng quy tắc nhân với một số, biến đổi phương trình về dạng:  1   2   4  2   x   x            Vậy, bất phương trình có nghiệm   4 x      và ta có biểu diễn:  Ví dụ 4.   Giải các bất phương trình sau:  . 2   24 a   x      .   3   27 b   x      Giải  a. Ta có biến đổi:  2   24   12 x   x         Vậy, bất phương trình có nghiệm   12 x   

Chuyên đề bất phương trình bậc nhất một ẩn

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  A. BÀI GIẢNG  1. NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  Với số a, ta có:  nÕu   0  nÕu   0  a   a  a   a   a               Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có:  ( ) nÕu   ( )   0  ( )   ( ) nÕu   ( )   0  f x   f x  f x   f x   f x               Ví dụ 1.   Rút gọn các biểu thức:  .   3   7   4   0 a C   x   x   khi x            .   5   4   6   6 b D   x   x   khi x               Giải  a. Với   0 x      thì   3   0 x       nên ta nhận được:  3   7   4   4   4 C   x   x   x               b. Với   6 x      thì   6   0 x         nên ta nhận được:  5   4   6   11   5 D   x   x   x                   .  2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt    Dạng 1:   Phương trình:  ( ) f   x   k    , với k là hằng số không âm.  Dạng 2:   Phương trình:  ( )   ( ) f   x   g x   Dạng 3:   Phương trình:  ( )   ( ) f   x   g x   Ví dụ 2.   Giải các phương trình:  .   5   3   1 a   x   x          .   5   2   21 b   x   x         Giải  a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:  Cách 1:   Ta có:  5   5  5   5   5  x   khi x  x   x   khi x                        .  Xét hai trường hợp:Trường hợp 1:   Nếu   5 x      phương trình có dạng:  5   3   1   3   5   1   2   4   2 x   x   x   x   x   x                                  , thỏa mãn điều kiện.  Trường hợp 2:   Nếu   5 x      phương trình có dạng:  3  5   3   1   3   5   1   4   6   2  x   x   x   x   x   x                                     , không thỏa mãn điều kiện.  Vậy, phương trình có nghiệm   2 x      .  Cách 2:   Với điều kiện:  1  3   1   0   3  x   x            Khi đó, phương trình được biến đổi:  2  5   3   1   2   4   3  5   (3   1)   4   (lo¹ )  2   i 6  x  x   x   x  x   x   x   x                                                      Vậy, phương trình có nghiệm   2 x      .  b. Viết lại phương trình dưới dạng:  5   2   21 x   x      Ta có thể trình bày theo các cách sau:  Cách 1:   Ta có:  5x   0  5   5   0  khi x  x   x khi x               .  Xét hai trường hợp:  Trường hợp 1:   Nếu   0 x      phương trình có dạng:  5   2   21   3   21   7                 x   x   x   x   , thỏa mãn điều kiện.  Trường hợp 2:   Nếu   0 x      phương trình có dạng:  5   2   21   7   21   3 x   x   x   x                      , thỏa mãn điều kiện.  Vậy, phương trình có nghiệm   7 x      và   3 x      .  Cách 2:   Với điều kiện:  21  2   21   0   2  x   x             (*)  Khi đó, phương trình được biến đổi:  5   2   21   3   21   7  5   (2   21)   7   21   3  x   x   x   x  x   x   x   x                                                 , thỏa mãn (*)  Vậy, phương trình có nghiệm   7 x      và   3 x      .  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Dạng toán 1:   PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI  Ví dụ 1.   Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

Chuyên đề phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1.   TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com    GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH  I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Bước 1: Lập phương trình:     Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;     Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;     Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.  Bước 2: Giải phương trình.  Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện  của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.  II.BÀI TẬP MINH HỌA  A.DẠNG BÀI CƠ BẢN  Phương pháp chung  Bước 1:   Kẻ bảng nếu được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn.  Bước 2:   Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai.  Bước 3:   Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.  Dạng 1: Toán Chuyển Động  Loại 1.Chuyển động trên bộ  Phương pháp  Bước 1:   Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường và điền các thông tin vào bảng đó rồi gọi ẩn,  kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn.  Bước 2:   Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai.  Bước 3:   Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán.  Ví dụ 1. Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược nhau. Xe đi từ A có vận tốc 40  km/h, xe đi từ B có vận tốc 30 km/h. Nếu xe đi từ B khởi hành sớm hơn xe đi từ A là 6 giờ  thì 2 xe sẽ gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tìm độ dài quãng đường AB.2.   TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Ví dụ 2.   Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau   24   km. Khi từ B trở về A người đó tăng  vận tốc lên   4   km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi   30   phút. Tính vận  tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.  Ví dụ 3 . Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc dự định 4 km/h. Sau khi đi được nửa  quãng đường AB với vận tốc đó, người ấy đi bằng ô tô với vận tốc 30 km/h, do đó đã đến B  sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.  Ví dụ 4.   Một người dự định đi xe đạp từ Ađến B cách nhau 60 km trong một thời gian nhất    thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h. Tính vận tốc dự định của  người đó.  Ví dụ 5.   Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định.  Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến đúng hạn xe  phải tăng tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.  Loại 2.Chuyển động trên dòng nước  -Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng của ca nô + vận tốc dòng nước  ( viết tắt là v x = v r   + v n )  Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – vận tốc dòng nước  ( viết tắt là v ng = v r   - v n,   chú    r   > v n   )  -Quãng đường = vận tốc x thời gian; S x = v x .t x ; S ng = v ng .t ng.  Ví dụ 1 :   phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.  Ví dụ 2:   Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng  một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước  yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ.  Dạng 2: Toán Năng Suất  -Năng suất là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.  -Tổng lượng công việc = Năng suất x thời gian

Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình

PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  - Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1. Phân thức nghịch     A  B   là   B  A   .  - Muốn chia phân thức   A  B   cho phân thức   C  D   khác 0, ta nhân   A  B   với phân thức nghịch     C  D  -   Ta có:  :   .  A   C   A D  B   D   B C     với   C  D     II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính  Phương pháp giải: Áp dụng công thức:  :   .  A   C   A D  B   D   B C     với   C  D     Chú ý:  - Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức    - Ưu tiên tính toán đối vói biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).  Bài 1: Làm tính chia các phân thức  a)  2  7   14  :  3   1   6   2  xy   x y  x   x      b)  2   3  2   2  34   17  :  2   2   3   3  x y   xy  xy   y   x      c)        3  2 27   :   6   9  3  x   x   x  x            d)         2  2   1  2   1 :   2   3  x  x   x   x          Bài 2: Chia các phân thức sau  a)  2  2  9   4   3   2  :  3   1   6   2  x   x  x   x   x            b)   2  5   15   3  :  4   2  x   x  x   x            c)        3  2  2  8   :   2   4  4  x   x   x  x            d)  2   2  2  2   4   4   4   1  :   1  x   x   x   x  x   x   x               Bài 3: Thực hiện phép chia  a)       2   2   8  3   48 :   9   6  x  x   x         b)         2  2   1  3   6   3   :   x  x   x   x         c)            2  1   3 1   2  :   :  2   3   4  x   x x   x  x   x   x                   d)        3  2 1   1  :   1 :  1   1  x   x  x   x  x   x                 Bài 4: Làm tính chia  a)  2  2   2   3   3  9   6   1   12   4  :  2   4   4   32  x   x   x  x   xy   y   x   y                  b)  2   2  2   2  3   2   :  6   4   4  x   x   x   x  x   x   x   x                     c)  4   4   2   2  2  3   3  :  4   4   1   6   12  x   y   x y   xy  x   x   x               d)  2   2  2   2   3   3  4   4   10   20  :  2   2   2   5   5  x   xy   y   x   y  x   xy   y   x   y                  Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.  Phương pháp giải:   Thực hiện theo hai bước:  Bước 1.   

Chuyên đề phép chia các phân thức đại số

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Phân thức đối  - Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.  - Phân thức đối của của   A  B   là   .  A  B    2. Quy tắc trừ hai phân thức đại số  Muốn trừ phân thức   A  B   cho phân thức   C  D   , ta cộng   A  B   với phân thúc đối của   C  D   , cụ thể như sau:  .  A   C   A   C  B   D   B   D                           II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Thực hiện phép tính có sử dụng quy tắc trừ các phân thức đại số  Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:  Bước 1. Áp dụng quy tắc trừ các phân thức đại số đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết;  Bước 2. Thực hiện tương tự phép cộng các phân thức đại số đã học trong Bài 5.  Bài 1.   Làm tính trừ các phân thức sau:  a)   2   2  2   1   4   1  5   5  x   x  x y   x y          với   0 x      và   0 y      ;  b)   2   2  8   2  16   4  y  y   y   y             với   0 y      và   4. y     Bài 2.   Thực hiện các phép tính sau:  a)  2  2   2   2   2  ab   a  a   b   b   a          với   ; a   b   b)   2   2  1   36   18  6   36   1  u  u   u   u            với   0 u      và   1   .  6  u   2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  Bài 3.   Trừ các phân thức sau:  a)   2  1   1   2 (1   )  5   5   25  x   x   x   x  x   x   x                        với   5; x     b)  4   2  2  2  4   3  1   1  m   m  m   m                với   1. m     Bài 4.   Thực hiện phép trừ các phân thức sau:  a)  2  2   3  1   2  1  1   1  u  u   u   u                  với   1; u     b)   2   2   2  4   2  (   3)(   9)   6   9   9  x   x  x   x   x   x   x                         với   3. x     Dạng 2. Tìm phân thức thỏa mãn yêu cầu  Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:  Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế;  Bước 2. Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm.  Bài 5.   Tìm phân thức   P   thỏa mãn đẳng thức sau:  2  2   3  4   2   2   4  1   1   1  x   x  P  x   x   x   x                        , với   0 x      và   1. x     Bài 6.   Tìm phân thức   Q   thỏa mãn điều kiện:  2  3   2   2  2   6   6   2  3   3   3   1  a   a  Q  a   a   a   a   a                            , với   1 a      và   3. a     Bài 7.   Chứng minh:   1   1   3   .  3   (   3) x   x   x x             Từ đó, tính nhanh biểu thức:  1   1   1  ...   ,  (   3)   (   3)(   6)   (   12)(   15)  M   x x   x   x   x   x                           với các mẫu thỏa mãn   0    .  Bài 8.   Chứng minh:   1   1   1   .  1   (   1) q   q   q q             

Chuyên đề phép trừ các phân thức đại số

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN  A. BÀI GIẢNG  1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN  Ví dụ 1.   Ta gọi hệ thức:     2   3   2 x   x          là một bất phương trình với ẩn số x.     3   2 y   y       là một bất phương trình với ẩn số y.  ...  Từ đó ta có được định nghĩa về bất phương trình một ẩn:  Một bất phương trình với ẩn x có dạng:  ( )   ( ) A x   B x    hoặc   ( )   ( ),   ( )   ( ),   ( )   ( ) A x   B x   A x   B x   A x   B x         Trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.  2. TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH  Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình    Khi bài toán yêu cầu   giải một bất phương trình,   ta phải tìm   tập nghiệm   của bất phương trình đó.  Ví dụ 2:   Ta có:  a. Tập nghiệm của bất phương trình   2 x      là tập hợp các số lớn hơn 2, tức là tập       2 x x      , nó được  biểu diễn trên trục số như sau:  b. Tập nghiệm của bất phương trình   3 x      là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 3, tức là tập       3 x x      ,  nó được biểu diễn trên trục số như sau:  c. Tập nghiệm của bất phương trình   2 x      là tập hợp các số nhỏ hơn - 2, tức là tập       2 x x      , nó được  biểu diễn trên trục số như sau:  d. Tập nghiệm của bất phương trình   1 x      là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 1, tức là tập       1 x x      ,  nó được biểu diễn trên trục số như sau:  Ví dụ 3.   Cho bất phương trình:   2   4   3 x   x   x    Kiểm tra xem các giá trị   2;   1;   3 x   x   x          có phải là nghiệm của bất phương trình trên hay không?  Giải  a.Thay   2 x      vào bất phương trình, ta được:  2  ( 2)   4( 2)   3( 2)   4   8   6   12   6                               , mâu thuẫn.  Vậy   2 x      không phải là nghiệm của bất phương trình.  b. Thay   1 x      vào bất phương trình, ta được:  2  1   4.1   3.1   1   4   3   3   3                      , luôn đúng.  Vậy   1 x      là nghiệm của bất phương trình.  c. Thay   3 x      vào bất phương trình, ta được:  2  3   4.3   3.3   9   12   9   3   9                      , luôn đúng.  Vậy   3 x      là nghiệm của bất phương trình.  3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG  Hai bất phương trình có cùng một tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương.  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Dạng toán 1: TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH  Ví dụ 1:   Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ nêu một bất phương  trình).  a.   b.  c.   d.  Giải  a.Ta có:   b. Ta có:  6 x      .   2 x     c. Ta có:   d. Ta có:  5 x      1 x     Ví dụ 2.   Cho bất phương trình   2   4   2   8 x   x   x          .  Kiểm tra xem các giá trị sau của x có phải là nghiệm của bất phương trình trên hay không?  .   0 a x      .   3 b x      .   4 c x     Giải  a.Thay   0 x      vào bất phương trình, ta được:  0   8    , mâu thuẫn.  Vậy,   0 x      không phải là nghiệm của bất phương trình.

Chuyên đề bất phương trình một ẩn

1/  14  QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Phương pháp chung các dạng    Bước 1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.  Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.  Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI  Dạng 1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức  Bài 1.   Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:  a)   3   5   3  ;  2   4  x  x        b)   5 5   6  ;  3   5  a  a     c)   5   3  ;  6   8  x   a   x  a    Bài 2.   Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:  a)   2  2   ;  3   5  x   y  xy   x     b)   2  3   5   3  ;  7   2  x  xy   y        c)   2   3   2   3  2   1  ;   ;  2   4   3  x   x   x  x y   x y   xy          Bài 3.   Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:  a)        2   3   2  ;  5   7   1  x  x          b)   3   7  ;  1 3   3  x  x   x          c)   2  1   5   7  ;   ;  3   4   4   6   6  x  x   x   x   x         Bài 4.   Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:  a)   2  3 x      ;   2   6  x  x      ;   2  3  9 x      b)   2  1  5 x   x    ;   3  14  25 x   x    ;   3   15  x  x      c)   3  3  1  x  x      ;   2  1 x  x   x       ;   2  5  1  x  x   x         Bài 5.   Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:  a)   2  1  3   2 x   x       ;   1  1 x      ;   1  2   4 x      b)  2  2   2   2  7   2  ;   ;  3   2   5   6   4   3  x   x   x  x   x   x   x   x   x                     Dạng 2: Quy đồng các mẫu thức:2/  14  Bài .   Quy đồng mẫu các phân thức sau:  a)   3   3  ;  2   4  a  a        b)   5   1  ;  3   3  x  x     c)   2   2   3  ;  3   4  x   ax  x    Bài 7.   Quy đồng mẫu các phân thức sau:  a)  2  4   3  ;   ;  6   18   9  b   a   b   x  a   ab   b     b)   2  6   5   1  ;   ;  4   20   10  x   a   bx   a  a   ab   b        c)   2   3  13  63  z  x y   ;   2  15  y  xz     ;   2  2  9  x  y z  Bài 8.   Quy đồng mẫu các phân thức sau:  a)        5   2  ;  6   3   1  x  x       b)   2   2  ;  5   5 3   3  x  x   x          c)   2  1   5   7  ;   ;  2   10   10   5   5  x  x   x   x   x         Bài 9.   Quy đồng mẫu các phân thức sau:  a)   1  2   4 x      ;   2   4  x  x      ;   2  3  4   x    b)   2  1  2 x   x    ;   3  20  4 x   x    ;   2  7  2 x   x    c)   3   1  x  x      ;   2  1 x  x   x       ;   2  2  1  x  x   x         Bài 10.   Quy đồng mẫu các phân thức sau:  a)   2  1  3   2 x   x       ;       2  1  1 x      ;       2  1  2 x      b)  2   3  2   2   2  ;   ;  4(   3   2)   6(   5   6)   8(   4   3)  x   x   x  x   x   x   x   x   x                        Bài 11.   Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các phân thức sau:  a)   2  7  4   5  A   x   x           b)   6  3   2   4  B   x           c)  2   6  4  x   x  C          HƯỚNG DẪN  Dạng 1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức  Bài 1.   Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:  a)   3   5   3  ;  2   4  x  x        b)   5 5   6  ;  3   5  a  a     c)   5   3  ;  6   8  x   a   x  a    Giải  a)       2; 4   4 BCNN     Mẫu thức chung:   4 x  b)       3;5   15 BCNN   

Chuyên đề quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

LIÊN H    GI  A TH    T    VÀ PHÉP C  NG A. BÀI GI  NG 1. NH  C L  I V    TH    T    TRÊN T  P S   Trên t  p s    th  c, v  i hai s    a và b s    x  y ra m  ng h  p sau:     S    a   b  ng   s    b, kí hi  u là   a   b =   .     S    a   nh    hơn   s    b, kí hi  u là   a   b <   .     S    a   l    s    b, kí hi  u là   a   b >   . T     n xét:     N  u a   không nh    hơn   b thì   a   b =   ho  c   a   b >   , khi đó ta nói a   l  c b  ng   b, kí hi  u là  a   b    .     N  u a   không l    b thì   a   b =   ho  c   a   b <   , khi đó ta nói a   nh    hơn hoặ c b  ng   b, kí hi  u là  a   b    .  Ví d    1.    n d  u thích h  p (=, <, >) vào ô vuông:  . 1,53   1,8 a      . - 2,37   - 2,41 b     12   2 c.   18   3         3   13 d . 5   20    Gi  i  Ta có ngay:  . 1,53 < 1,8 a   . - 2,37 > - 2,41 b   12   2 c.   = 18   3     3   13 d .   < 5   20  2. B  NG TH  C  B  ng th  c là h    th    m  t trong các d  ng:  ,   ,   ,   . A   B   A   B   A   B   A   B >      <     3. LIÊN H    GI  A TH    T    VÀ PHÉP C  NG Ví d    2.   a. Khi c  ng -3 vào c    hai v    c  a b  ng th  c   4   2    <   thì đượ c b  ng th  c nào? b.   D     t qu    khi c  ng s    c vào c    hai v    c  a b  ng th  c   4   2    <   thì đượ c b  ng th  c nào?  Gi  i  Ta có ngay:  3   4   3   2   7   1       < −   +      < −   (đúng) và dự    c r  ng   4   2 c   c    <   +  Tính ch  t:   V  i ba s    a, b và c, ta có:     N  u   a   b >   thì   a   c   b   c +   >   +     N  u   a   b <   thì   a   c   b   c +   <   +     N  u   a   b    thì   a   c   b   c +      +     N  u   a   b    thì   a   c   b   c +      +Khi c  ng cùng m  t s    vào cả   hai v    c  a m  t b  ng th  c b  ng th  c m  i cùng chi  u v  i b  ng th   Ví d    3.   So sánh   2004   ( 777)    + −   và   2005   ( 777)    + −   mà không tính giá tr    t  ng bi  u th  c.  Gi  i  Ta có   2004   2005    > −   nên khi c  ng c    hai v    c  a b  ng th  c này v  i - 777, ta đượ c  2004   ( 777)   2005   ( 777)    + −   > −   + −  Ví d    4.   D  a vào th    t    gi  a   2 và 3 hãy so sánh   2   2 +   và 5.  Gi  i  Ta có   2   3 <   nên khi c  ng c    hai v    c  a b  ng th  c này v  i 2, t a đượ c   2   2   5 +   <  B.   PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Ví d    1.   M  i kh   . ( 2)   3   2 a      +      .   6   2.( 3) b      =     . 4   ( 8)   15   ( 8) c   + −   <   + −   2 .   1   1 d x   +     Gi  i  a. Kh  nh   ( 2)   3   2    +      là sai. b. Kh  nh   6   2.( 3)    =      là đúng.  c. Kh  nh   4   ( 8)   15   ( 8) + −   <   + −   là đúng.  d. Kh  nh   2   1   1 x   +      là đúng vì:  2   2 0,   1   1, x   x   x   x          +        Ví d    2.   Cho   a   b <   , hãy so sánh: a.   1 a   +   và   1 b   +   b.   2 a      và   2 b     Gi  i  a. Ta có:  1   1 a   b   a   b <      +   <   +  b. Ta có:  2   2 a   b   a   b <         <     Ví d    3.   Hãy so sánh a và b n  u: a.   5   5 a   b          b.   15   15 a   b +      +  Gi  i  a.Ta có:  5   5   5   5   5   5 a   b   a   b   a   b                +         +        b. Ta có:  15   15   15   15   15   15 a   b   a   b   a   b +      +      +         +         

Chuyên đề liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức  Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên  mẫu thức.  2. Quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau  Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân  thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Cộng xác phân thức đại số thông thường  Phương pháp giải:   Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số nêu trong phần Tóm  tắt lý thuyết.  Bài 1.   Thực hiện các phép tính sau:  a)  2   4   4  6   12   6   12  x   x  x   x            với   2; x     b)   2   2  3   7   2   2  5   5  a   a  a b   a b          với   0 a      và   0 b      .  Bài 2.   Cộng các phân thức sau:  a)   2   2  11   6   3   6  4   1   4   1  y   y  y   y               với   1   ;  2  y     b)   2   3   2   3  3   7   3  2   2  mn   n   mn   n  m n   m n          với   0 m      và   0 n      .  Bài 3.   Thực hiện phép cộng các phân thức sau:2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  a)   2  10   18   2  2   2   4  u   u   u  u   u   u                        với   1   ;  2  u     b)   2   2   3   2   3  2   5   2   7  2   8   4  x   y   x  x y   x y   x y                với   0 x      và   0 y      .  Bài 4.   Thực hiện các phép tính sau:  a)   2   2  1   2   1  1   1   2   1  x   x  x   x   x   x                        với   1; x     b)   2   2   3   3  1  2   4   8  p   q  p   q   p   q   p   q                   với   2   . q   p   Dạng 2. Cộng các phân thức đại số có sử dụng quy tắc đối dấu  Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước  Bước 1. Áp dụng Quy tắc đổi dấu phân thức:   ;  A   A  B   B         Bước 2. Thưc hiện tương tự Dạng 1.  Bài 5.   Sử dụng quy tắc đổi dấu để thực hiện các phép tính sau:  a)  2   2  3   2   3   2  1   1   1  x   x   x   x  x   x   x                        với   1; x     b)   2  2   4   5   2  2   2   4  y  y   y   y                  với   2. y     Bài 6.   Thực hiện phép cộng các phân thức sau:  a)  2   2  2   2   7   5  3   3   3  a   a   a   a  a   a   a                        với   3; a     b)   2  3   3   3   1   11   5  2   2   1   2   4  b   b   b  b   b   b   b                     với   0 b      và   1   .  2  b     Bài 7.   Cộng các phân thức sau:  a)   2   2   2  1   1  8   16   8   16   16                     v  v   v   v   v   v   và   4; v   

Chuyên đề phép cộng các phân thức đại số

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC  I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Bước 1:   Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các  mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ.  Bước 2:   Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.  Bước 3:   Giải phương trình vừa nhận được.  Bước 4:   (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3,   các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định  chính là nghiệm của phương trình đã cho.     Chú ý.   Nếu         0 A x      tại   1 x   x    hoặc   2 x   x    thì        0 A x      khi   1 x   x    và   2 x   x   II.BÀI TẬP MINH HỌA  A.DẠNG BÀI CƠ BẢN  Phương Pháp  Vận dụng phương pháp giải phưng trình chứa ẩn ở mẫu, đưa về phương trình bậc nhất đã biết  Ví dụ 1.   Giải các phương trình sau:  a.   3   2   6   1  7   2   3  x   x  x   x               ;  b.   2  1   1   4  1   1   1  x   x  x   x   x                     .  Ví dụ 2.   Giải các phương trình sau:  a.            6   2   18   1  5   8   5   8 x   x   x   x                      ;  b.            3   1   9  1   2   1   2 x   x   x   x                   ;  c.  2   2   2  2  7   3  3   3   9  x   x   x   x   x  x   x   x                     .  Ví dụ 3.   Giải các phương trình sau:  a.        1   3   5  2   3   2   3 x   x x   x             ;  b.                                3   2   1  1   2   1   3   2   3 x   x   x   x   x   x                         .  Ví dụ 4.   Giải các phương trình sau:  a.       2 1   1  2   2   1 x  x   x                                    ;b.  2   2  1   1  1   1 x   x  x   x                                                                     .  Ví dụ 5.   Giải các phương trình sau:  a.   2  3   2  1   3   2  1   1   1  x   x  x   x   x   x                   ;  b.                      13   1   6  2   7 3   2   7   3   3 x x   x   x   x                    .  Ví dụ 6.   Với giá trị nào của   x   thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng   2   .  a.   3   1   3  3   1   3  x   x  A   x   x                  ;  b.   10   3   1   7   2  3   4   12   6   18  x   x  B   x   x                     .  LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN  Ví dụ 1.   Giải các phương trình sau:  c.   3   2   6   1  7   2   3  x   x  x   x               ;  d.   2  1   1   4  1   1   1  x   x  x   x   x                     .  Lời giải  a.   3   2   6   1  7   2   3  x   x  x   x               .   (1)     3  2  x      và   7 x      .  Mẫu số chung (MSC) của phương trình là           7   2   3 x   x       . Khi đó:                                         3   2   2   3   6   1   7  1   7   2   3   7   2   3  x   x   x   x  x   x   x   x                             2   2  6   9   4   6   6   42   7 x   x   x   x   x   x                        1  56   1   56  x   x             .  So với ĐKXĐ ta thấy   1  56  x      thỏa mãn, vậy   1  56  x      là nghiệm của phương trình đã cho.  b.   2  1   1   4  1   1   1  x   x  x   x   x                     .   (2)     1 x      .  Mẫu số chung của phương trình là           1   1 x   x       . Khi đó:                                   2  1   1   4  2   1   1   1   1  x   x  x   x   x   x                          2   2  2   1   2   1   4 x   x   x   x                     4   4   1 x   x             .  So với ĐKXĐ ta thấy giá trị   1 x      không thỏa mãn nên bị loại.

Chuyên đề phương trình chứa ẩn ở mẫu

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ  - Biểu thức hữu tỉ   là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân  chia trên những phân thức.  - Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ   thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ,  nhân, chia các phân thức đã học.  2. Giá trị của phân thức  - Giá trị của một phân thức   chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0.  - Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến   x   và   y   thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định  vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0.  II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.  Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0.  Bài 1:   Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:  a)   5   ;  2   6   x  x   b)   2  2   ;  4     x   c)   2  2   1   ;  4   2      x  x   x   d)   3  2  27      x  x  Bài 2:   Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:  a)   4   ;  3   8   a  a   b)   2  3   6   ;  2      b  b   b   c)   2  3   ;  5  x   d)  2  3  2   .  3   2      y  y   y  Bài 3:   Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định:  a)  2  2  1   ;  9   16      x  x   b)   2  2   1   ;  6   9         x  x   x   c)   2  3   4   ;  2   3      x  x   x   d)   3   2  1   .  4   3         x  x   x   x  Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.  Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:  Bước 1. Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi;  Bước 2. Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng   A  B   với A và B là các đa thức, B khác đa  thức 0.  Bài 4:   Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  a)  1  2  1  2        x A  x  với   0  x   và   1   ;  2   x   b)  2  4  1   2  2  1   2   4                 y  B   y  y   y  với   2.  y  Bài 5:     a)  15  2  4   4  6   7  2   2              x  x A   x  x  với   0;3; 4.  x   b)  2  2  1  3   9  1   1  1   3   9         y   y  y   y  với   0.  y  Bài 6:   Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:  a)  2  2  4  4  ,   0,   0,   2   .  1   2                    n   n  m   m M   m   n   n   m  m   n  b)   1   ,   3.  3   1   3               x  N   x  x  x  Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.  Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để  biến đổi.  Bài 7:   Thực hiện các phép tính sau:  a)       2   1   1  4   1   1  2   1   2   1                               A   x   x   x   với   1   .  2   x  b)   2   2  3   9   3   1  :  3   6   9   9   3                                              B   x   x   x   x   x   với   0,   3.     x   x  Bài 8:   Rút gọn các biểu thức sau:  a)  2   2  2   2   2   2  4   4   16  .  4   4                                   a   b   a   b   a   b  A   a   ab   a   ab   a   b   với   0,   4 ;     a   a   b  b)  2  2  3  1 : 1  2   4                                          y   y  B   y   y   với   1;   2.     y   y  Bài 9:   Cho biểu thức        2   2   6   108   6   '  2   12   2   6                       x   x   x   x  P   x   x   x x  a) Tìm điều kiện xác định;  b) Rút gọn phân thức;  c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng   3   ;  2  d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng   9   ;  2    e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1.  Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.  Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau:

Chuyên đề biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân thức

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN  CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH  I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Phương trình tích (một ẩn) là phương trình có dạng             .   ...   0 A x   B x      .   (1)  Trong đó             ,   ,... A x   B x   là các đa thức.               0,   0,... A x   B x       rồi lấy tất cả các nghiệm của  chúng.  Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đưa phương  trình về dạng phương trình tích. Cách đặt ẩn phụ cũng hay được sử dụng để trình bày cho lời giải  gọn gàng hơn.  II.BÀI TẬP  A.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN  Vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử và cách giải phương trình tích đưa phương  trình đã cho về các phương trình bậc nhất đã biết cách giải.  Ví dụ 1. Giải phương trình:       16   297   0 y y            .  Ví dụ 2. Giải phương trình:             2   3   4   3   0 x   x   x             .  Ví dụ 3. Giải phương trình:         2   2  4   9   25   0 x   x          .  Ví dụ 4.   Giải các phương trình sau:  Ví dụ 5.   Giải các phương trình sau:  a.   2   7   6   0 x   x          ;  b.   2   6   5   0 x   x          .  Ví dụ 6.   Giải các phương trình sau:  a.   2   2  4   4   1 x   x   x          ;  b.           2  4   1   2   1   3   5 x   x   x             .  Ví dụ 7.   Giải các phương trình sau:  a.       2   2   1   9   0 x   x             ;  b.   3   2   2  7   3   12 x   x   x   x          .  Ví dụ 8.   Giải các phương trình sau:2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  a.              2   2  2   5   2 x   x          ;  b.              2   2  1   4   2   1 x   x   x             .  Ví dụ 9.   Giải các phương trình sau:  a.              2  2   2  5   10   5   24   0 x   x   x   x                ;  b.           2  1   1   42 x x   x   x             .  Ví dụ 10. Giải phương trình:              2   2  2   5   3 x   x         Ví dụ 11. Giải phương trình:             4   3  16   1   3   0 x   x   x             .  LỜI GIẢI VÍ DỤ  Ví dụ 1. Giải phương trình:       16   297   0 y y            .  Lời giải.   Ta có      16   297   0 y y           2   16   297   0 y   y            2   27   11   297   0 y   y   y                         27   11   27   0 y y   y                       27   11   0 y   y             27   0  11   0  y  y                       Vậy phương trình có hai nghiệm y=27 và y= -11.  Ví dụ 2. Giải phương trình:             2   3   4   3   0 x   x   x             .  Lời giải.  Nghiệm số của phương trình đã cho là nghiệm số của:        3  2   3   0   2  x   x             ;  Hoặc   4   0   4 x   x             ;  Hoặc   3   0   3 x   x             .  Vậy phương trình có ba nghiệm   3  2  x      ,   4 x      và   3 x      .

Tài liệu Toán 8